Giải Bài 10 trang 224 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao – Cuối năm

2


Cho tam giác ABC vuông ở A

Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = c,AC = b. Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại A, lấy điểm S  bất kì, \(S \ne A\) . Gọi B1, C1 lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC.

1. Xác định tâm của mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, B1, C1 và tính bán kính của mặt cầu đó.

2.Cho SA = h, tính tỉ số thể tích của hai tứ diện SA B1C1SABC.

Giải

 1.Ta có AC \( \bot \) mp(SAB) nến AC\( \bot \)SB, từ đó SB \( \bot \) B1C tức là \(\widehat {B{B_1}C} = {90^0}\)

Tương tự ta cũng có \(\widehat {B{C_1}C} = {90^0}\). Vậy tâm mặt cầu đi qua B, C, A, B1, C1 là trung điểm O của BC.

Ta có \(AO = {1 \over 2}{\rm{ }}BC,\)

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2}.\)

Từ đó bán kính mặt cầu bằng\({{\sqrt {{b^2} + {\rm{ }}{c^2}} } \over 2}.\)   

2. Ta có

\({{{V_{S.A{B_1}{C_1}}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SA} \over {SA}}.{{S{B_1}} \over {SB}}.{{S{C_1}} \over {SC}} \)

\(= {{S{B_1}.SB} \over {S{B^2}}}.{{S{C_1}.SC} \over {S{C^2}}} = {{S{A^2}} \over {S{B^2}}}.{{S{A^2}} \over {S{C^2}}} = {{{h^4}} \over {\left( {{h^2} + {c^2}} \right)\left( {{h^2} + {b^2}} \right)}}.\)

Vậy tỉ số thể tích của hai tứ diện \(SA{B_1}{C_1}\) và \(SABC\) bằng \({{{h^4}} \over {({h^2} + {b^2})({h^2} + {c^2})}}.\)

Giaibaitaphay.com